Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²＋bx＋c的图像经过点A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)，顶点为D．

(1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标；

(2)在y轴上找一点P(点P与点C不重合)，使得∠APD＝90°，求点P坐标；

(3)在(2)的条件下，将△APD沿直线AD翻折，得到△AQD，求点Q坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意，得 　　，　1分 　　解得　1分 　　所以这个二次函数的解析式为　1分 　　顶点D的坐标为(1，－4)　1分 　　(2)解法一：设 　　由题意，得　1分 　　∵∠APD＝90°，∴ 　　　1分 　　解得(不合题意，舍去)　1分 　　∴　1分 　　解法二： 　　如图，作DE⊥y轴，垂足为点E，则由题意，得DE＝1，OE＝4　1分 　　由∠APD＝90°，得∠APO＋∠DPE＝90°， 　　由∠AOP＝90°，得∠APO＋∠OAP＝90°， 　　∴∠OAP＝∠EPD 　　又∠AOP＝∠OED＝90°， 　　∴△OAP∽△EPD 　　∴　1分 　　设 　　则，解得(不合题意，舍去)　1分 　　∴　1分 　　(3)解法一： 　　如图，作QH⊥x轴，垂足为点H，易得，∠PAQ＝90°， 　　∴四边形APDQ为正方形，　1分 　　由∠QAP＝90°，得∠HAQ＋∠OAP＝90°，由∠AOP＝90°，得∠APO＋∠OAP＝90°， 　　∴∠OPA＝∠HAQ，又∠AOP＝∠AHQ＝90°，PA＝QA 　　∴△AOP≌△AHQ，∴AH＝OP＝1，QH＝OA＝3　2分 　　∴　1分 　　解法二： 　　设　1分 　　则　1分 　　解得，(不合题意，舍去)　1分 　　∴　1分