Question

如图，P是⊙O的弦CB延长线上一点，点A在⊙O上，且∠PCA=∠BAP．
（1）求证：PA是⊙O的切线．
（2）若PB：BC=2：3且PC=10，求PA的长．

Answer 1

（1）证明：作⊙O的直径AD，连接BD．
则∠C=∠D（同弧所对的圆周角相等），∠ABD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠D+∠BAD=90°，
∴∠C+∠BAD=90°（等量代换）；
又∵∠PCA=∠BAP，
∴∠BAD+∠PAB=90°，即AP⊥AD，
∴PA是⊙O的切线．

（2）解：∵PB：BC=2：3且PC=10，
∴PB=4；
又∵PA²=PB•PC，
∴PA²=4×10=40，
∴PA=2．
分析：（1）欲证PA是⊙O的切线，只需证明AP⊥AD即可；
（2）利用切割线定理（从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项）解答．
点评：本题综合考查了切线的判定与性质、切割线定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．