Question

5．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO，连结CD
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=2，CD=$\sqrt{2}$，求AD的长．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）连接OD，SAS证明△ODC≌△OBC，得出∠CDO=∠CBO=90°，即可得出CD是⊙O的切线；
（2）先求出OB，OC的长，再运用△ADB∽△OBC，求出AD的长．

解答 （1）证明：连接OD，
∵AD∥OC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4
∵OA=OD
∴∠3=∠4
∴∠1=∠2，
在△OCB与△OCD中.$\left\{\begin{array}{l}OD=OB\\∠1=∠2\\ OC=OC\end{array}\right.$
∴△OCB≌△OCD．（SAS）．
∴∠ODC=∠OBC．
∵BC是⊙O的切线
∴∠OBC=90°．
∴∠ODC=90°．
∴OD⊥CD．
∴CD切⊙O于D；

（2）解：由（1）知：CD、BC是⊙O的切线，
∴BC=CD=$\sqrt{2}$，
在Rt△OCB中，
∵OB=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴OC=$\sqrt{O{B^2}+B{C^2}}=\sqrt{3}$，
由（1）知：∠2=∠4，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠ADB=∠ABC=90°．
∴△OCB∽△ABD，
∴$\frac{AD}{OB}=\frac{AB}{OC}$
即$\frac{AD}{1}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，
∴$AD=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$；

点评 本题主要考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是运用△ADB∽△OBC求出AD．