Question

如图：正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于M，
（1）在图中找出一条与EM相等的线段，并给与证明；
（2）如果AB=2，求EB的长．

Answer 1

分析：（1）找出EA与EM相等，理由为：根据五边形为正五边形，利用多边形的内角和定理求出五边形的内角为108°，由EA=AB，根据等边对等角得到∠BEA=∠ABE，根据顶角的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BEA与∠ABE的度数，同理求出∠MAB的度数，进而得到∠EMA与∠EAM度数相等，根据等角对等边即可得证；
（2）设EB=x，根据（1）得到EM=EA，及AB=2，表示出MB=x-2，然后由一对角的度数相等，加上一个公共角，证明三角形AEB与三角形MAB相似，根据相似得比例，把对应的边长代入即可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为EB的长．

解答：解：（1）EA=EM，（1分）理由如下：
证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB=108°，EA=AB，
∴∠BEA=∠ABE=36°，同理∠MAB=36°，
∴∠EMA=72°，∠EAM=72°，
∴EM=EA；（4分）

（2）设EB=x，由（1）知MB=EB-EA=x-2，
在△AEB和△MAB中，
∠AEB=∠MAB=36°，∠ABE=∠MBA，
∴△AEB∽△MAB，（7分）
∴

AB

EB

=

MB

AB

，∴

2

x

=

x-2

2

，即x²-2x-4=0，（2分）                 
∴x=1+

5

或 x=1-

5

，（舍去）
从而EB=1+

5

．（10分）

点评：此题考查了正五边形的性质，相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用相似得比例，利用转化思想及方程思想解决问题．