Question

16．如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的圆P周长为1．点M从A开始沿圆P按逆时针方向匀速转动，射线AM交x轴于点N（n，0），设点M转过的路程为m（0＜m＜1），随着点M的转动，当m从$\frac{1}{4}$变化到$\frac{2}{3}$时，求点N相应移动的路径长．

Answer 1

分析 当m=$\frac{1}{4}$时，连接PM，如图1，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的$\frac{1}{4}$，从而可得到旋转角∠APM为90°，根据PA=PM可得∠PAM=∠PMA=45°，则有NO=AO=1，求得ON的长；当m=$\frac{2}{3}$时，连接PM，如图3，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的$\frac{2}{3}$，从而可得到旋转角为240°，则∠APM=120°，同理可求出ON的长，即可求解．

解答 解：①当m=$\frac{1}{4}$时，连接PM，如图1，

则有∠APM=$\frac{1}{4}$×360°=90°．
∵PA=PM，
∴∠PAM=∠PMA=45°．
∴NO=AO=1，
∴n=-1．
②当m=$\frac{2}{3}$时，连接PM，如图2，

∠APM=360°-$\frac{2}{3}$×360°=120°，
同理可得：NO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
综合①、②可得：点N相应移动的路经长2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了旋转角、等腰三角形的性质、三角函数等知识，若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．