Question

9．已知直线l₁∥l₂，且l₃与l₁，l₂分别交于A，B两点，l₄与l₁，l₂相交于C，D两点，点P在直线AB上运动．
（1）如图1，当点P在A，B两点间运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系，并说明理由；
（2）如图2，A点在B处北偏东32°方向，A点在C处的北偏西56°方向，应用探究（1）的结论求出∠BAC的度数；
（3）如果点P在A，B两点外侧运动时，试探究∠ACP，∠BDP，∠CPD之间的关系，画出图形并说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，由PQ∥l₁∥l₂结合“两直线平行，内错角相等”找出“∠1=∠CPQ，∠3=∠DPQ”，再通过角的计算即可得出结论；
（2）分别在B点和A点处画方位图，结合（1）的结论即可得到结果；
（3）分两种情况进行讨论：①当点P在A点上方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，由PQ∥l₁∥l₂结合“两直线平行，内错角相等”找出“∠QPC=∠ACP，∠QPD=∠BDP”，再通过角的计算即可得出结论；②当点P在B点下方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，利用①的方法可得出结论．

解答 解：（1）当点P在A、B两点间滑动时，∠2=∠1+∠3保持不变．
理由：过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图1所示．

∵PQ∥AC，
∴∠1=∠CPQ，
又∵PQ∥AC，BD∥AC，
∴PQ∥BD，
∴∠3=∠DPQ，
∴∠1+∠3=∠CPQ+∠DPQ，
即∠1+∠3=∠2．

（2）分别在B点和A点处画方位图，如图2所示．

由（1）知：∠2=∠1+∠3
∴∠BAC=32°+56°=88°．

（3）∠CPD=|∠ACP-∠BDP|．
分两种情况：
①当点P在A点上方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图3所示．

∵PQ∥AC，
∴∠QPC=∠ACP．
又∵PQ∥AC，BD∥AC，
∴PQ∥BD，
∴∠QPD=∠BDP．
又∵∠CPD=∠QPD-∠QPC，
∴∠CPD=∠BDP-∠ACP；
②当点P在B点下方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图4所示．

同理可得：∠CPD=∠ACP-∠BDP．
综上所述：∠CPD=|∠ACP-∠BDP|．

点评 本题考查了平行线的性质以及方向角的应用，解题的关键是：（1）根据平行线的性质找出“∠1=∠CPQ，∠3=∠DPQ”；（2）利用（1）中结论进行计算；（3）需要分情况讨论，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．