Question

如图所示，扇形OAB的半径OA=r，圆心角∠AOB=90°，点C是

AB

上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，点M在DE上，DM=2EM，过点C的直线PC交OA的延长线于点P，且∠CPD=∠CDE．
（1）求证：DM=

2

3

r；
（2）求证：直线PC是扇形OAB所在圆的切线；
（3）设y=CD²+3CM²，当∠CPO=60°时，请求出y关于r的函数关系式．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵点C是

AB

上异于A、B的点，又CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，
∴∠ODC=∠OEC=∠AOB=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴DE=OC．
∵OC=OA=r，
∴DE=r．
又∵DM=2EM，
∴DM=

2

3

DE=

2

3

r；

（2）证明：设OC与DE交于点F，则在矩形ODCE中，FC=FD，
∴∠CDE=∠DCO，
又∵∠CPD+∠PCD=90°，∠CPD=∠CDE，
∴∠DCO+∠PCD=90°，即PC⊥OC于点C，
又∵OC为扇形OAB的半径，
∴PC是扇形OAB所在圆的切线；

（3）过C作CH⊥DE于点H
∵∠OCD=∠CDH=∠CPO=60°，
∴在Rt△OCD和Rt△CDH中，得
CD=

1

2

OC=

1

2

r，DH=

1

2

CD=

1

4

r，CH=

3

4

r．
又MH=DM-DH=

2

3

r-

1

4

r=

5

12

r，
∴在Rt△CMH中，得CM²=MH²+CH²=(

5

12

r)2+(

3

4

r)2=

13

36

r2，
则y=CD²+3CM²，
=(

1

2

r)2+3×

13

36

r²
=

4

3

r²．