Question

16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE²+BG²=2a²+2b²，其中正确结论是①②③（填序号）

Answer 1

分析 由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等，利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG，利用全等三角形对应角相等得到∠1=∠2，利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角，利用勾股定理求出所求式子的值即可．

解答 解：设BE，DG交于O，
∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCE=∠DCG}\\{CE=CG}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE=DG，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BE⊥DG；故①②正确；
连接BD，EG，如图所示，
∴DO²+BO²=BD²=BC²+CD²=2a²，EO²+OG²=EG²=CG²+CE²=2b²，
则BG²+DE²=DO²+BO²+EO²+OG²=2a²+2b²，故③正确．
故答案为：①②③．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．