【题目】在一条笔直的公路上依次有A,C,B三地,甲、乙两人同时出发,甲从A地骑自行车去B地,途经C地休息1分钟,继续按原速骑行至B地,甲到达B地后,立即按原路原速返回A地;乙步行从B地前往A地.甲、乙两人距A地的路程y(米)与时间x(分)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题:
(1)请写出甲的骑行速度为 米/分,点M的坐标为 ;
(2)求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式(不需要写出自变量的取值范围);
(3)请直接写出两人出发后,在甲返回A地之前,经过多长时间两人距C地的路程相等.
【答案】(1)240,(6,1200);(2)y=﹣240x+2640;(3)经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等.
【解析】
(1)根据函数图象得出AB两地的距离,由行程问题的数量关系由路程时间=速度就可以求出结论;
(2)先由行程问题的数量关系求出M、N的坐标,设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,由待定系数法就可以求出结论;
(3) 设甲返回A地之前,经过x分两人距C地的路程相等,可得乙的速度:1200÷20=60(米/分),分别分①当0<x≤3时②当3<x<﹣1时③当<x≤6时④当x=6时⑤当x>6时5种情况讨论可得经过多长时间两人距C地的路程相等.
(1)由题意得:甲的骑行速度为: =240(米/分),
240×(11﹣1)÷2=1200(米),
则点M的坐标为(6,1200),
故答案为:240,(6,1200);
(2)设MN的解析式为:y=kx+b(k≠0),
∵y=kx+b(k≠0)的图象过点M(6,1200)、N(11,0),
∴,
解得,
∴直线MN的解析式为:y=﹣240x+2640;
即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式:y=﹣240x+2640;
(3)设甲返回A地之前,经过x分两人距C地的路程相等,
乙的速度:1200÷20=60(米/分),
如图1所示:∵AB=1200,AC=1020,
∴BC=1200﹣1020=180,
分5种情况:
①当0<x≤3时,1020﹣240x=180﹣60x,
x=>3,
此种情况不符合题意;
②当3<x<﹣1时,即3<x<,甲、乙都在A、C之间,
∴1020﹣240x=60x﹣180,
x=4,
③当<x≤6时,甲在B、C之间,乙在A、C之间,
∴240x﹣1020=60x﹣180,
x=<,
此种情况不符合题意;
④当x=6时,甲到B地,距离C地180米,
乙距C地的距离:6×60﹣180=180(米),
即x=6时两人距C地的路程相等,
⑤当x>6时,甲在返回途中,
当甲在B、C之间时,180﹣[240(x﹣1)﹣1200]=60x﹣180,x=6,
此种情况不符合题意,
当甲在A、C之间时,240(x﹣1)﹣1200﹣180=60x﹣180,
x=8,
综上所述,在甲返回A地之前,经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等.
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【题目】附加题:
探究题:我们知道等腰三角形的两个底角相等,如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰,所以∠BAC=∠BCA.利用这条性质,解决下面的问题:
已知下面的正多边形中,相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a.如图:
正五边形α=_____;正六边形α=______;正八边α=_____;当正多边形的边数是n时,α=______.
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【题目】矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点M在对角线AC上,且AM:MC=2:3,过点M作EF⊥AC交AD于点E,交BC于点F.在AC上取一点P,使∠MEP=∠EAC,则AP的长为_____.
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【题目】每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,
(1)写出A、B、C的坐标.
(2)以原点O为中心,将△ABC围绕原点O逆时针旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1.
(3)求(2)中C到C1经过的路径以及OB扫过的面积.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD、CD.
(1)求证:AD=CD;
(2)①画图:在AC边上找一点H,使得BH+EH最小(要求:写出作图过程并画出图形,不用说明作图依据);
②当BC=2时,求出BH+EH的最小值.
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【题目】如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
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【题目】情境观察:
如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分别为D、E,CD与AE交于点F.
①写出图1中所有的全等三角形 ;
②线段AF与线段CE的数量关系是 .
问题探究:
如图2,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足为D,AD与BC交于点E.
求证:AE=2CD.
拓展延伸:
如图3,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,点D在AC上,∠EDC= ∠BAC,DE⊥CE,垂足为E,DE与BC交于点F.求证:DF=2CE.
要求:请你写出辅助线的作法,并在图3中画出辅助线,不需要证明.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平行线交⊙O与点D,过点D的切线分别交AB、AC的延长线与点E、F.
(1)求证:AF⊥EF.
(2)小强同学通过探究发现:AF+CF=AB,请你帮忙小强同学证明这一结论.
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