Question

【题目】已知二次函数y＝－(a＋b)x2－2cx＋a－b，a、b、c是△ABC的三边

(1) 当抛物线与x轴只有一个交点时，判断△ABC是什么形状

(2) 当时，该函数有最大值，判断△ABC是什么形状

Answer 1

【答案】(1) △ABC是以b为斜边的直角三角形;(2)等边三角形.

【解析】

（1）由题意得出△＝0，得出c2＋a2＝b2，由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形即可；

（2）由x＝时函数有最大值，可知顶点的横坐标为，纵坐标为，根据顶点坐标公式列方程求解即可．

解：(1) 令y＝0，即－(a＋b)x2－2cx＋a－b＝0，

∵抛物线与x轴只有一个交点，

∴△＝4c2－4[－(a＋b)(a－b)]＝0，

化简得：a2＋c2=b2，

∴△ABC是以b为斜边的直角三角形；

(2) 依题意得：x＝，

∴，

又，

∴a2＋2c2－2b2－ab＝0，

将代入a2＋2c2－2b2－ab＝0中，得a2＝b2，

∵a＞0，b＞0，

∴a＝b＝c，

∴△ABC为等边三角形.