Question

14．如图，CB的坡度为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，坡上有一棵树AB，当太阳光线与水平线成70°沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为4米．
（1）请在虚线框内尺规作图作∠E等于已知角∠CBA（保留作图痕迹，不用写出作法）；
（2）求树高AB（精确到0.1米）

Answer 1

分析 （1）根据画角的方法作∠E等于已知角∠CBA；
（2）本题可通过构造直角三角形来解答，延长AB交CD于点E，则AE⊥CD，E为垂足，直角三角形BCE中，已知BC的长，∠BCD的度数，那么可求出CE和BE的长，直角三角形ACF中，已知∠CAE=180-90-70=20°，前面又得到了CE，BE的长，那么就可求出AE的长，AB=AE-BE就能求出AB的长了．

解答 解：（1）如图所示：∠E即为所求；
（2）延长AB交CD于点E，则AE⊥CD，E为垂足．
由题意得：∠BCE=30°，∠ACE=70°，BC=4米．
在Rt△BCE中，BE=$\frac{1}{2}$BC=2（米），
CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$（米），
在Rt△ACE中，tan∠ACE=$\frac{AE}{CE}$，
即tan70°=AE：CE，
∴AB=2$\sqrt{3}$tan70°-2≈2×1.73×2.75-2≈9.5-2=7.5（米）．
答：树高AB约为7.5米．

点评 考查了作图-应用与设计作图，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．