如图，已知抛物线y=$\frac{1}{3}$x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，可得C点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据待定系数法，可得AB的解析式，根据直线上的点满足函数解析式，可得E点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据等腰直角三角形的性质，可得∠PCF=∠EAF，根据相似三角形的判定，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．
解答 解：（1）将A（0，1），B（9，10）代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}×81+9b+c=10}\\{c=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=1}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式y=$\frac{1}{3}$x2-2x+1；
（2）∵AC∥x轴，A（0，1），
∴$\frac{1}{3}$x2-2x+1=1，解得x1=6，x2=0（舍），即C点坐标为（6，1），
∵点A（0，1），点B（9，10），
∴直线AB的解析式为y=x+1，设P（m，$\frac{1}{3}$m2-2m+1）
∴E（m，m+1），
∴PE=m+1-（$\frac{1}{3}$m2-2m+1）=-$\frac{1}{3}$m2+3m．
∵AC⊥PE，AC=6，
∴S四边形AECP=S△AEC+S△APC=$\frac{1}{2}$AC•EF+$\frac{1}{2}$AC•PF
=$\frac{1}{2}$AC•（EF+PF）=$\frac{1}{2}$AC•EP=$\frac{1}{2}$×6（-$\frac{1}{3}$m2+3m）=-m2+9m=-（m-$\frac{9}{2}$）2+$\frac{81}{4}$，
∵0＜m＜6，
∴当m=$\frac{9}{2}$时，四边形AECP的面积最大值是$\frac{81}{4}$，此时P（$\frac{9}{2}$，-$\frac{5}{4}$）；
（3）∵y=$\frac{1}{3}$x2-2x+1=$\frac{1}{3}$（x-3）2-2，
P（3，-2）．PF=yF-yp=3，CF=xF-xC=3，
∴PF=CF，
∴∠PCF=45°，
同理可得∠EAF=45°，
∴∠PCF=∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件得点Q，设Q（t，1）且AB=9$\sqrt{2}$，AC=6，CP=3$\sqrt{2}$，
∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，$\frac{CQ}{AC}$=$\frac{CP}{AB}$，$\frac{6-t}{6}$=$\frac{3\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}$，
解得t=4，
Q（4，1）；
②当△CQP∽△ABC时，∴$\frac{CQ}{AB}$=$\frac{CP}{AC}$，
$\frac{6-t}{9\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{6}$，
解得t=-3，
Q（-3，1）．
综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为（4，1）或（-3，1）．
点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例，要分类讨论，以防遗漏．
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在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且CD于BE相交于点F，已知△BDF的面积为12，△BCF的面积为16，△CEF的面积为12，则四边形ADFE的面积为72．查看答案和解析>>
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| A． | $\frac{m-a}{b}$分钟 | B． | $\frac{m}{a+b}$分钟 | C． | $\frac{m-a+b}{b}$分钟 | D． | $\frac{m-a-b}{b}$分钟 |
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| A． | （5，1） | B． | （-1，5） | C． | （-3，-$\frac{5}{3}$） | D． | （$\frac{5}{3}$，3） |
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如图，直线m⊥n．在平面直角坐标系xOy中，x轴∥m，y轴∥n．如果以O1为原点，点A 的坐标为（1，1）．将点O1平移2$\sqrt{2}$个单位长度到点O2，点A的位置不变，如果以O2为原点，那么点A的坐标可能是（ ）| A． | （3，-1） | B． | （1，-3） | C． | （-2，-1） | D． | （2$\sqrt{2}$+1，2$\sqrt{2}$+1） |
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如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AC∥DF，AC=DF，BE=CF．