Question

6．如图所示，在正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上的一点且AF=$\frac{1}{4}$AD，求证：
①CE平分∠BCF；
②判断△CEF的形状；
③CF=AF+AB．

Answer 1

分析 ①由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，设AF=a，则FD=3a，DC=BC=4a，AE=EB=2a，由勾股定理得出EF、CF、CE，由三边对应成比例证出△CEF∽△CBE，得出∠ECF=∠BCE即可；
②求出EF²+CE²=CF²，由勾股定理的逆定理得出△CEF是直角三角形；
③作EM⊥CF于M，则BE=ME，∠EMC=90°，由HL证明Rt△BCE≌Rt△MCE，得出BC=MC，同理证明Rt△AEF≌△MEF，得出AF=FM，即可得出结论．

解答 ①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵E是AB的中点，AF=$\frac{1}{4}$AD，
∴AE=BE=2AF，AB=BC=CD=AD=4AF，
设AF=a，则FD=3a，DC=BC=4a，AE=EB=2a，
由勾股定理得：EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，CF=$\sqrt{D{F}^{2}+C{D}^{2}}$=5a，
∵$\frac{EF}{BE}=\frac{\sqrt{5}a}{2a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{CE}{BC}=\frac{2\sqrt{5}a}{4a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{CF}{CE}=\frac{5a}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{CE}{BC}=\frac{CF}{CE}$，
∴△CEF∽△CBE，
∴∠ECF=∠BCE，
∴CE平分∠BCF；
②解：△CEF是直角三角形；理由如下：
∵EF²+CE²=25a²，CF²=25a²，
∴EF²+CE²=CF²，
∴△CEF是直角三角形；
③证明：作EM⊥CF于M，如图所示：
则BE=ME，∠EMC=90°，
在Rt△BCE和Rt△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CE}\\{BE=ME}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCE≌Rt△MCE（HL），
∴BC=MC，
同理：Rt△AEF≌△MEF，
∴AF=FM，
∵CF=FM+MC，
∴CF=AF+AB．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．