Question

分解因式：
（1）x⁹+x⁶+x³﹣3；
（2）（m²﹣1）（n²﹣1）+4mn；
（3）（x+1）⁴+（x²﹣1）²+（x﹣1）⁴；
（4）a³b﹣ab³+a²+b²+1．

Answer 1

（1）（x﹣1）（x²+x+1）（x⁶+2x³+3）
（2）（mn+m﹣n+1）（mn﹣m+n+1）
（3）（3x²+1）（x²+3）
（4）（a²﹣ab+1）（b²+ab+1）

试题分析：（1）首先将﹣3拆成﹣1﹣1﹣1，多项式变为（x⁹﹣1）+（x⁶﹣1）+（x³﹣1），然后分别利用公式法分解因式即可求解；
（2）首先将4mn拆成2mn+2mn，多项式变为（m²n²+2mn+1）﹣（m²﹣2mn+n²），然后分别利用公式法分解因式即可求解；
（3）首先将（x²﹣1）²拆成2（x²﹣1）²﹣（x²﹣1）²，多项式变为[（x+1）⁴+2（x+1）²（x﹣1）²+（x﹣1）⁴]﹣（x²﹣1）²，然后利用公式法分解因式即可求解；
（4）首先添加两项+ab﹣ab，多项式变为（a³b﹣ab³）+（a²﹣ab）+（ab+b²+1），然后分别分解因式，接着提取公因式即可求解．
解：（1）原式=x⁹+x⁶+x³﹣1﹣1﹣1
=（x⁹﹣1）+（x⁶﹣1）+（x³﹣1）
=（x³﹣1）（x⁶+x³+1）+（x³﹣1）（x³+1）+（x³﹣1）
=（x³﹣1）（x⁶+2x³+3）
=（x﹣1）（x²+x+1）（x⁶+2x³+3）；
（2）原式=（m²﹣1）（n²﹣1）+2mn+2mn
=m²n²﹣m²﹣n²+1+2mn+2mn
=（m²n²+2mn+1）﹣（m²﹣2mn+n²）
=（mn+1）²﹣（m﹣n）²
=（mn+m﹣n+1）（mn﹣m+n+1）；
（3）原式=（x+1）⁴+2（x²﹣1）²﹣（x²﹣1）²+（x﹣1）⁴
=[（x+1）⁴+2（x+1）²（x﹣1）²+（x﹣1）⁴]﹣（x²﹣1）²
=[（x+1）²+（x﹣1）²]²﹣（x²﹣1）²
=（2x²+2）²﹣（x²﹣1）²=（3x²+1）（x²+3）；
（4）原式=a³b﹣ab³+a²+b²+1+ab﹣ab
=（a³b﹣ab³）+（a²﹣ab）+（ab+b²+1）
=ab（a+b）（a﹣b）+a（a﹣b）+（ab+b²+1）
=a（a﹣b）[b（a+b）+1]+（ab+b²+1）
=[a（a﹣b）+1]（ab+b²+1）
=（a²﹣ab+1）（b²+ab+1）．
点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，其中（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab﹣ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．