Question

11．已知：AB=8，⊙O经过点A、B，以AB为一边画平行四边形ABCD，另一边CD经过点O（如图1），一点B为圆心，BC为半径画弧，交线段OC于点E（点E不与点O，点C重合）．
（1）求证：OD=OE；
（2）如果⊙O的半径长为5（如图2），设OD=x，BC=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果⊙O的半径长为5，联结AC，当BE⊥AC时，求OD的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OA，OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AB∥CD，∠DAB=∠C，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）如图2，过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得到AH=$\frac{1}{2}$AB=4，连接OA，根据勾股定理得到OH=$\sqrt{O{A}^{2}-A{H}^{2}}$=3，过D作DG⊥AB于G，根据矩形的性质得到DG=OH=3，GH=x，根据勾股定理即可得到结论；
（3）如图3，过D作DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，根据全等三角形的性质得到BH=AE，由（2）知，OD=x，BC=y，AG=4-x，DG=CH=3，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接OA，OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB∥CD，∠DAB=∠C，
∴∠CEB=∠ABE，
∵BC=BE，
∴AD=BE，
∴∠C=∠BEC，
∴∠DAB=∠ABE，
∴∠DAO=∠EBO，
在△ADO与△BEO中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE}\\{∠DAO=∠EBO}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴∠ADO≌△BEO，
∴OD=OE；

（2）如图2，过O作OH⊥AB于H，
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=4，
连接OA，
∵OA=5，
∴OH=$\sqrt{O{A}^{2}-A{H}^{2}}$=3，
过D作DG⊥AB于G，
∴四边形DGHO是矩形，
∴DG=OH=3，GH=x，
∴AG=4-x，
∵AD=BC=y，
∴y²=3²+（4-x）²，
∴y=$\sqrt{{x}^{2}-8x+25}$（0＜x＜4）；

（3）如图3，过D作DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，
在Rt△ADG与Rt△BCH中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{DG=CH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADG≌Rt△BCH，
∴BH=AE，
由（2）知，OD=x，BC=y，AG=4-x，DG=CH=3，
∴BH=4-x，
∴AH=8+4-x=12-x，
∵CD∥AB，
∴CH⊥CD，AC⊥BE，
∴∠ECA+∠HCB=∠ECA+∠CEB=90°，
∴∠BEC=∠ACH，
∴∠DAG=∠ACH，
∴△ADG∽△ACH，
∴$\frac{AG}{CH}=\frac{DG}{AH}$，即$\frac{4-x}{3}$=$\frac{3}{12-x}$，
∴x=3，x=13（不合题意，舍去），
∴DO=3．

点评 本题考查了垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．