Question

9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=4，OC=3，且顶点A、C均在坐标轴上，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动；点N从点C出发沿CB向终点B以同样的速度移动，当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，过点N作NP⊥BC交BO于点P，连接MP．
（1）直接写出点B的坐标，并求出点P的坐标（用含x的式子表示）；
（2）设△OMP的面积为S，求S与x之间的函数表达式；若存在最大值，求出S的最大值；
（3）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使△OMP时等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形OABC中OA=4，OC=3以及矩形的性质，得出B点坐标，再由PG∥AB，得出△OPG∽△OBA，利用相似三角形对应边成比例得出P点坐标；
（2）利用PG以及OM的长表示出△OMP的面积，再根据二次函数的性质求出最大值即可；
（3）△OMP是等腰三角形时，分三种情况：①PO=PM；②OP=OM；③OM=PM．画出图形，分别求出即可．

解答 解：（1）∵矩形OABC中，OA=4，OC=3，
∴B点坐标为（4，3）．
如图，延长NP，交OA于点G，则PG∥AB，OG=CN=x．
∵PG∥AB，
∴△OPG∽△OBA，
∴$\frac{PG}{AB}$=$\frac{OG}{OA}$，即$\frac{PG}{3}$=$\frac{x}{4}$，
解得：PG=$\frac{3}{4}$x，
∴点P的坐标为（x，$\frac{3}{4}$x）；

（2）∵在△OMP中，OM=4-x，OM边上的高为$\frac{3}{4}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$（4-x）•$\frac{3}{4}$x=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{2}$x，
∴S与x之间的函数表达式为S=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{2}$x（0＜x＜4）．
配方，得S=-$\frac{3}{8}$（x-2）²+$\frac{3}{2}$，
∴当x=2时，S有最大值，最大值为$\frac{3}{2}$；

（3）存在某一时刻，使△OMP是等腰三角形．理由如下：
①如备用图1，过点P作PG⊥AO于点G，
若PO=PM，则OG=GM=CN=x，
即3x=4，
解得：x=$\frac{4}{3}$；

②如备用图2，过点P作PG⊥AO于点G，
若OP=OM，CN=x，则OP=4-x，
由勾股定理，得OB=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵NP∥OC，
∴$\frac{OP}{OB}$=$\frac{CN}{CB}$，
即$\frac{OP}{5}$=$\frac{x}{4}$，
∴OP=$\frac{5}{4}$x，
即$\frac{5}{4}$x=4-x，
解得：x=$\frac{16}{9}$，

③如备用图3，过点P作PQ⊥OA，垂足为Q，
若OM=PM时，则PM=OM=4-x，OQ=CN=x，
则MQ=2x-4，
在Rt△MPQ中，
PQ²+QM²=MP²，
即（$\frac{3}{4}$x）²+（2x-4）²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{128}{57}$，
综上所述，当x的值为$\frac{4}{3}$秒或$\frac{16}{9}$秒或$\frac{128}{57}$秒时，△OMP是等腰三角形．

点评 此题主要考查了四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论以及方程思想是解题的关键．