Question

如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，（不与点A重合）过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．
（1）如图1，直接写出AN与AE的数量关系是

 

．
（2）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；
（3）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
（4）请直接写出过点H的直线l在射线AO上移动（点H不与点A重合）的过程中，BN、CE、CD之间的等量关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等腰三角形底边三线合一性质即可解题；
（2）连结ND，易证AN=AC，易证∠B=∠BDN，可得BN=DN，即可解题；
（3）过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，由（1）可得BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，易证CG=CE，BM=CM，即可证明△BNM≌△CGM，可得BN=CG，即可解题；
（4）总结（1）（2）（3）结论，即可解题．

解答：（1）解：∵AO平分∠BAC，AH⊥NE，
∴AN=AE；
（2）证明：连结ND，

∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵直线l⊥AO于H，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∴∠ANH=∠AEH，
∴AN=AC，
∴NH=CH，
∴AH是线段NC的中垂线
∴DN=DC，
∴∠DNH=∠DCH，
∴∠AND=∠ACB，
∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠BDN，
∴BN=DN，
∴BN=DC；
（3）当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，
理由：证明：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，

由（1）可得BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，
∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，
∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，
∴∠CGE=∠AEN，
∴CG=CE，
∵M是BC中点，
∴BM=CM，
在△BNM和△CGM中，

∠B=∠BCG BM=CM ∠NMB=∠GMC

，
∴△BNM≌△CGM（ASA），
∴BN=CG，
∴BN=CE，
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；
（4）解：BN、CE、CD之间的等量关系：
当点M在线段BC上时，CD=BN+CE，
当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE，
当点M在CB的延长线上时CD=CE-BN．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质，本题中求证△BNM≌△CGM是解题的关键．