Question

阅读理解：德国著名数学家高斯（C．F．Gauss，1777年4月30日-1855年2月23日，、物理学家、天文学家、大地测量学家．）被认为是历史上最重要的数学家之一，并有“数学王子“的美誉．高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令（右边相加100+1=2+99=3+98=…=100+1共100组）
①+②：有2S=101x100，解得：S=5050．
请类比以上做法，回答，3+5+7+9+…..+97=

 

；   
题目：如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推．
（1）填写如表：

层数	1	2	3	4
该层对应的点数	1	6	12	18
所有层的总点数	1	7	19

（2）写出第n层所对应的点数；（n≥2）
（3）如果某一层共96个点，你知道它是第几层吗？；
（4）写出n层的六边形点阵的总点数；
（5）如果六边形点阵图的总点数是631个，你知道它共有几层吗？

Answer 1

考点：规律型：图形的变化类

专题：阅读型

分析：根据六边形有六条边，则第一层有1个点，第二层有2×6-6=6（个）点，第三层有3×6-6=12（个）点，推而广之即可求解．然后根据得到的通项公式求出相应题目的解即可．

解答：解：3+5+7+9+…..+97=

1

2

×2×（3+5+7+9+…..+97）=

1

2

×48×100=2400；
第一层上的点数为1；
第二层上的点数为6=1×6；
第三层上的点数为6+6=2×6；
第四层上的点数为6+6+6=3×6；
…
第n层上的点数为（n-1）×6．
所以n层六边形点阵的总点数为
1+1×6+2×6+3×6+…+（n-1）×6
=1+6[1+2+3+4+…+（n-1）]=1+6[（1+2+3+…+n-1）+（n-1+n-2+…+3+2+1）]÷2
=1+6×

n(n-1)

2

=1+3n（n-1）
（1）填表如下：

层数	1	2	3	4
该层对应的点数	1	6	12	18
所有层的总点数	1	7	19	37

（2）根据分析可得第n层的点数之和为6（n-1）；
（3）由题意得：6（n-1）=96
解得：n=17，
故第17层共有96个点；
（4）根据分析可得共有n层时的点数之和为1+3n（n-1）；
（5）根据题意得：
1+3n（n-1）=631．
n（n-1）=210；
（n-15）（n+14）=0
n=15或-14．
故n=15，
答：共有15层．

点评：本题考查了图形的变化类问题，主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．