Question

阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r₁，r₂，腰上的高为h，连接AP，则S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC，即：AB•r₁+AC•r₂=AB•h，∴r₁+r₂=h
（1）理解与应用
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在　　三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r₁，r₂，r₃，试证明：．
（2）类比与推理
边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于______；
（3）拓展与延伸
若边长为2的正n边形A₁A₂…An内部任意一点P到各边的距离为r₁，r₂，…r_n，请问r₁+r₂+…r_n是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．

Answer 1

解：（1）分别连接AP，BP，CP，作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∴BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理，得
∴AD=
∵S_△ABP+S_△BCP+S_△ACP=S_△ABC．
∴AB•r₁+BC•r₂+AC•r₃=BC×AD，
∵BC=AC=AB，
∴r₁+r₂+r₃=AD．
∴r₁+r₂+r₃=

（2）如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=2．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥DC，PH⊥AD，
∴四边形PEBF是矩形，四边形PFCG是矩形，四边形PGDH是矩形，四边形PHAE是矩形，
∴PE=AH，PF=BE，PG=HD，PH=AE，
∴PE+PF+PG+PH=AH+BE+HD+AE=AD+AB=4．
故答案为4．

（3）设正n边形的边心距为r，且正n边形的边长为2，
∴S_正n边形=．r=，
∵S_正n边形=×2×r₁+×2×r₂+×2×r₁+…+×2×r_n，
∴×2×r₁+×2×r₂+×2×r₁+…+×2×r_n=×n，
∴r₁+r₂+…+r_n=nr=（为定值）．

分析：（1）由条件可以求出边长为2的等边三角形的高为，连接PA，PB，PC，仿照面积的割补法，得出S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC，而这几个三角形的底相等，故化简后可得出高的关系．
（2）如图正方形过正方形内的任一点P向四边做垂线就可以求出到正方形四边的距离和为正方形边长的2倍，从而得出结论．
（3）问题转化为正n边形时，根据正n边形计算面积的方法，从中心向各顶点连线，可得出n个全等的等腰三角形，用边长2为底，边心距为高，可求正n边形的面积，然后由P点向正n多边形，又可把正n边形分割成n个三角形，以边长为底，以r₁、r₂、…、r_n为高表示面积，列出面积的等式，可求证r₁+r₂+…+r_n为定值．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质及利用面积分割法，求线段之间的关系，充分体现了面积法解题的作用．