Question

14．如图1，AB是⊙O的直径，AB=10，C是⊙O上的一点，将弧BC沿弦BC翻折，交AB于点D，连接CD并延长，交⊙O于点E，连接BE．
（1）当AD=2时，BE的长是8．
（2）当点D位于线段OA上时（不与点A重合），设∠ABC=a，则a的取值范围是0＜a≤30°．
（3）当∠ABC=15°时，点D和点O的距离是5$\sqrt{3}$-5．
（4）如图2，设$\widehat{BDC}$所在圆的圆心是O′，当BE与⊙O相切时，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质以及圆周角定理的推理可知$\widehat{AC}=\widehat{DC}$，从而可知AC=DC，根据等腰三角形的性质可知：∠CAD=∠CDA，然后再证明∠BDE=∠BED，可推出BE=BD，最后根据BE=AB-AD求解即可；
（2）当点D与点A重合时，点C与点A重合，此时，∠ABC=a=0°；当点D与点O重合时，可证得△AOC为等边三角形，从而可知∠ABC=30°，进而可确定出a的取值范围；
（3）如图2所示：过点C作CF⊥AB，垂足为F，连接OC，先征得∠COF=30°，在Rt△CFO中，根据特殊锐角三角函数值，可求得OF=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，然后根据等腰三角形三线合一可知AF=DF，从而可求得AD的长，最后根据DO=OA-AD求解即可．
（4）如图3，作⊙O'的直径BF，连接FD、OE．由切线的性质可知∠FBD+∠DBE=90°，根据直径所对的圆周角等于90度可知：∠FDB=90°，从而可证得∠DBE=∠DFB，根据同弧所对的圆周角相等可知：∠DFB=∠DCB，∠DBE=∠ACE，从而可得到∠DBE=∠DFB=∠DCB=∠ACE=45°，进而可证明△OBE为等腰直角三角形，然后可求得BE的长．

解答 解：（1）∵∠ABC=∠DBC，
∴$\widehat{AC}=\widehat{DC}$．
∴AC=DC．
∴∠CAD=∠CDA
∵∠CAD=∠DEB，∠CDA=∠BDE，
∴∠BDE=∠BED．
∴BE=BD．
∴BE=AB-AD=10-2=8；
（2）当点D与点A重合时，点C与点A重合，此时，∠ABC=a=0°，
如图1，当点D与点O重合时．则DC=DA．

由（1）可知：AC=DC，
又∵DC=AD，
∴AC=DC=AD．
∴∠ADC=60°．
∴∠ABC=30°．
∴0°＜α≤30°
（3）如图2所示：过点C作CF⊥AB，垂足为F，连接OC．

∵∠ABC=15°，
∴∠COF=30°．
在Rt△CFO中，cos∠COF=$\frac{OF}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OF=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
∵AC=DC，CF⊥AD，
∴AF=DF．
∴AD=2AF=2（OA-OF）=2（5-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）=10-5$\sqrt{3}$．
∴OD=OA-AD=5-（10-5$\sqrt{3}$）=5$\sqrt{3}$-5；
（4）如图3，作⊙O'的直径BF，连接FD、OE．

∵BE与⊙O'相切，
∴BE⊥BF．
∴∠FBD+DBE=90°．
∵BF是⊙O'的直径，
∴∠FDB=90°．
∴∠FBD+∠DFB=90°．
∴∠DBE=∠DFB．
∵∠DFB=∠DCB，∠DBE=∠ACE，
∴∠DBE=∠DFB=∠DCB=∠ACE．
∵∠ACB=90°，
∴∠DBE=∠DFB=∠DCB=∠ACE=45°．
∵OB=OE，∠ABE=45°，
∴∠OEB=45°．
∴∠BOE=90°．
在Rt△OBE中，BE=$\sqrt{O{E}^{2}+O{B}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理以及圆周角定理的推理、等腰三角形的性质和判断、特殊锐角三角函数，以及等边三角形的性质和判定，证得△ACD为等腰三角形和△OBE为等腰直角三角形是解答本题的关键．