Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC，点E、F分别是BC，AC边上的点，且∠B=∠AEF．
（1）求证：AC•CF=CE•BE；
（2）若AB=8，BC=12，当EF∥AB时，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由在△ABC中，AB=AC，∠B=∠AEF，易证得△ABE∽△ECF，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（2）由EF∥AB，可得∠ABE=∠AEF=∠B=∠C，继而证得△ABC∽△EBA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 （1）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC，∠B=∠AEF，
∴∠BAE=∠FEC，
∴∠DPC=∠PAB．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C
∴△ABE∽△ECF，
∴AB：CE=BE：CF，
∵AB=AC，
∴AC•CF=CE•BE；

（2）解：如图：∵EF∥AB，
∴∠BAE=∠AEF，
∵∠B=∠AEF．
∴∠B=∠BAE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠C=∠BAE，
又∵∠ABC=∠EBA，
∴△ABC∽△EBA，
∴BE：AB=AB：BC，
∵AB=8，BC=12，
∴BE=$\frac{A{B}^{2}}{BC}$=$\frac{{8}^{2}}{12}$=$\frac{16}{3}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意证得△ABE∽△ECF与△ABC∽△EBA是解此题的关键．