Question

【题目】已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D在斜边AB上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．

（1）当∠ACD＝∠BCD时，求证：四边形DECF是正方形；

（2）当∠BCD＝∠A时，求证：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由垂直的定义可得出∠DEC＝∠DFC，结合∠ECF＝90°可得出四边形DECF为矩形，由∠ACD＝∠BCD可得出CD平分∠ACB，利用角平分线的性质可得出DE＝DF，再利用“邻边相等的矩形是正方形”可证出四边形DECF是正方形；

（2）由∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝90°，∠BCD＝∠A可得出∠A+∠ACD＝90°，利用三角形内角和定理可求出∠ADC＝90°，由∠DCF＝∠A，∠DFC＝∠ADC＝90°可证出△CDF∽△ACD，再利用相似三角形的性质可证出．

证明：（1）∵DE⊥AC，DF⊥BC，

∴∠DEC＝∠DFC＝90°，

又∵∠ECF＝90°，

∴四边形DECF为矩形．

∵∠ACD＝∠BCD，

∴CD平分∠ACB，

∴DE＝DF，

∴四边形DECF是正方形．

（2）∵∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝90°，∠BCD＝∠A，

∴∠A+∠ACD＝90°，

∴∠ADC＝180°﹣90°＝90°．

∵∠DCF＝∠A，∠DFC＝∠ADC＝90°，

∴△CDF∽△ACD，

∴．