Question

已知△ABC是直角三角形，C为直角，AC≠BC，若点P是△ABC所在平面上的点（P≠A，B，C），使得P，B，C三点构成的三角形和△ABC相似，则这样的点P最多有________个．

Answer 1

11
分析：这样的点有11个，分为三大类，第一类，若P，B及C构成的三角形与原三角形全等，满足题意的点P有3个位置，如图所示；第二类若P，B，及C构成的直角三角形，∠CPB为直角，即BC为斜边，满足题意的点P有4个位置，如图所示；第三类若∠PCB或∠PBC为直角，即PB或PC为斜边，满足题意的点P有4个位置，如图所示，综上，得到满足题意的P最多有11个位置．
解答：解：这样的P最多有11个，如图所示：
分为三大类：
①若P，B及C构成的三角形与原三角形全等，有三种情况：P₅，P₆，P₇，如图；
②若∠BPC=90°时，有四种情况：P₁，P₂，P₃，P₄，如图；
③若∠PCB或∠PBC为直角，共有4种情况：P₈，P₉，P₁₀，P₁₁，如图．
故答案为：11．
点评：此题考查了相似三角形的判定，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，要求学生借助图形，根据P，B及C构成的直角三角形的直角顶点的不同，以及对应边的不同，抓住问题的关键，分情况得出所有满足题意的P点．做题注意不要遗漏解．