Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，点E、F分别是AB、BC的中点，连接AC交DE于P．
（1）求证：四边形EFCP是平行四边形．
（2）如果AB=2AD，四边形EFCP是不是矩形，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）通过证明PE∥CF，PC∥EF，证得四边形EFCP是平行四边形；
（2）根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，通过证明∠CPE为直角即可．

解答：解：（1）∵点E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥PC，
∵AB=2CD，AB∥CD，
∴BE平行且等于DC，
∴四边形BEDC是平行四边形，
∴PE∥CF，
∴四边形EFCP是平行四边形（两组对边分别平行的四边形为平行四边形）．

（2）∵AB=2AD，AB∥CD，AB=2CD，
∴AE平行且等于DC，AD=CD，
∴四边形AECD是平行四边形，△ADC为等腰三角形，
∴DE平分∠ADC，
根据等腰三角形的性质，DE也为△ADC的高，
∴∠CPE为直角，
∴四边形EFCP是矩形（有一个角为直角的平行四边形为矩形）．

点评：本题考查梯形的知识，有一定难度，解题关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定方法并灵活运用．