Question

1．已知：∠AOB=80°，OD、OE分别是∠BOC和∠COA的平分线．
（1）如图1，OC在∠AOB内部时，求∠DOE的度数；
（2）如图2，将OC绕点旋转到OB的左侧时，OD、OE仍是∠BOC和∠COA的平分线，求此时∠DOE的度数；
（3）当OC绕O点旋转到OA的下方时，OD、OE分别是∠BOC和∠COA的平分线，∠DOE的度数又是多少？（直接写出结论，不必写出解题过程）

Answer 1

分析 （1）利用角平分线定义，求证∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOC+$\frac{1}{2}$∠AOC，然后根据∠AOB=60°即可求出∠DOE的度数；
（2）利用角平分线定义，求证∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC-$\frac{1}{2}$∠BOC，然后根据∠AOB=60°即可求出∠DOE的度数；
（3）解题思路同（2），但是题干没有给图，所以需分类讨论，不要漏解．

解答 解：（1）∵OD、OE分别是∠BOC和∠COA的平分线，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC+$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=40°；

（2）∵OD、OE分别是∠BOC和∠COA的平分线，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC，
又∵∠AOB=80°，
∴∠DOE=∠COE-∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC-$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=40°．

（3）OD，OE在OA同侧．
∵OD、OE分别是∠BOC和∠COA的平分线，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC+$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=40°；
OD，OE在OA异侧．
∵OD、OE分别是∠BOC和∠COA的平分线，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=180°-$\frac{1}{2}$∠BOC-$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=140°；
综上所述，∠DOE的度数是40°（OD，OE在OA同侧）或140°（OD，OE在OA异侧）．

点评 此题主要考查学生对角的计算和角平分线定义的理解和掌握，对于学生来说此题有一定的拔高难度，属于中档题．