Question

如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于E，D两点（D点在E点右方）．
（1）求点E，D的坐标；
（2）求过B，C，D三点的抛物线的函数关系式；
（3）过B，C，D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）设以BC为直径的圆的圆心为M，由于⊙M过点D，由圆周角定理可得∠BDC=90°；即可证得△ABD∽△ODC，可用OD表示出DA，根据相似三角形得到的比例线段，即可求得OD的长，由此可得到点D、E的坐标；
（2）用待定系数法求解即可求出该抛物线的解析式；
（3）首先求出直线CD的解析式；由于CD⊥BD，且点C在抛物线的图象上，因此C点就是符合条件的Q点；同理可先求出过B点且平行于CD的直线l的解析式，直线l与抛物线的交点（B点除外）也应该符合Q点的要求．
解答：解：（1）取BC的中点M，过M作MN⊥x轴于N；则M点即为以BC为直径的圆的圆心；
∵点D是⊙M上的点，且BC是直径，
∴∠BDC=90°；
∴∠OCD=∠BDA=90°-∠ODC；
又∵∠COD=∠OAB，
∴△OCD∽△ADB；
∴；
∵OC=3，AB=1，OA=OD+DA=4，
∴3×1=OD×（4-OD），
解得AD=1，OD=3；
∵点D在点E右边，
∴OD=3，OE=1；
即D（3，0），E（1，0）；

（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，（a≠0），依题意，
有：，
解得；
∴y=x²-x+3；

（3）假设存在这样的Q点；
①△BDQ以D为直角顶点；
由于CD⊥BD，且C点在抛物线的图象上，
所以C点符合Q点的要求；
此时Q（0，3）；
②△BDQ以B为直角顶点；
易知直线CD的解析式为：y=-x+3；
作过B的直线l，且l∥CD；
设l的解析式为y=-x+h，由于l经过点B（4，1），
则有：-4+h=1，h=5；
∴直线l的解析式为y=-x+5；
联立抛物线的解析式有：
，
解得，；
∴Q（-1，6）；
综上所述，存在符合条件的Q点，且Q点坐标为（0，3）或（-1，6）．
点评：此题主要考查的圆周角定理、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、直角三角形的判定等知识的综合应用，综合性强，难度较大．