Question

【题目】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，经过B、D两点的⊙O交AB 于点E，交BC于点F，EB为⊙O的直径．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）当BC=2，cos∠ABC=时，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）根据切线的判定定理，垂直经过半径外端的直线是圆的切线，连接OD，只要得出OD⊥AC即可得出；

（2）通过解直角三角形求得AB，然后证明△AOD∽△ABC，利用相似的性质得对应边的比值相等，即可求得⊙O的半径．

试题解析：（1）如图，连结OD．

∴OD=OB．

∴∠1=∠2．

∵BD平分∠ABC，

∴∠1=∠3．

∴∠2=∠3．

∴OD∥BC．

∴∠ADO=∠C=90°．

∴OD⊥AC．

∵OD是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线．

（2）在Rt△ACB中，∠C=90，BC=2，cos∠ABC=，

∴．

设⊙O的半径为r，则AO=6﹣r．

∵OD∥BC，

∴△AOD∽△ABC．

∴．

∴．

解得r=．

∴⊙O的半径为．