Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动．已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）．
（1）△EFG的边长是

 

（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在

 

；
（2）若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求：
①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；
②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；
（3）探求（2）中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的三边相等，则△EFG的边长是点E移动的距离；根据等边三角形的三线合一和F点移动速度是E点移动速度的2倍，即可分析出BF=4，此时等边三角形的边长是2，则点G和点D重合；
（2）①当0＜x≤2时，重叠部分的面积即为等边三角形的面积；
②当2＜x≤6时，分两种情况：当2＜x＜3时和当3≤x≤6时，进行计算；
（3）分别求得（2）中每一种情况的最大值，再进一步比较取其中的最大值即可．

解答：解：（1）∵点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，且F点移动速度是E点移动速度的2倍，
∴BF=2BE=2x，
∴EF=BF-BE=2x-x=x，
∴△EFG的边长是x；
过D作DH⊥BC于H，得矩形ABHD及直角△CDH，连接DE、DF．
在直角△CDH中，∵∠C=30°，CH=BC-AD=3，
∴DH=CH•tan30°=3×

3

3

=

3

．
当x=2时，BE=EF=2，
∵△EFG是等边三角形，且DH⊥BC交点H，
∴EH=HF=1
∴DE=DF=

DH2+EH2

=2，
∴△DEF是等边三角形，
∴点G的位置在D点．
故答案为x，D点；

（2）①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y=

3

4

x²；
②分两种情况：
Ⅰ．当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，
∵∠FNC=∠FCN=30°，∴FN=FC=6-2x．∴GN=3x-6．
∵在Rt△NMG中，∠G=60°，GN=3x-6，
∴GM=

1

2

（3x-6），
由勾股定理得：MN=

3

2

（3x-6），
∴S_△GMN=

1

2

×GM×MN=

1

2

×

1

2

（3x-6）×

3

2

（3x-6）=

3

8

（3x-6）²，
所以，此时y=

3

4

x²-

3

8

（3x-6）²=-

7 3

8

x2+

9 3

2

x-

9 3

2

；

Ⅱ．当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，
∵EC=6-x，
∴y=

3

8

（6-x）²=

3

8

x2-

3 3

2

x+

9 3

2

；
（3）当0＜x≤2时，
∵y=

3

4

x²，在x＞0时，y随x增大而增大，
∴x=2时，y_最大=

3

；
当2＜x＜3时，∵y=-

7 3

8

x2+

9 3

2

x-

9 3

2

，在x=

18

7

时，y_最大=

9 3

7

；
当3≤x≤6时，∵y=

3

8

x2-

3 3

2

x+

9 3

2

，在x＜6时，y随x增大而减小，
∴x=3时，y_最大=

9 3

8

．
综上所述：当x=

18

7

时，y_最大=

9 3

7

．

点评：此题是一道动态题，难度较大，注意不同的情况，能够熟练求得二次函数的最值．