Question

如图，将Rt△BCO置于平面直角坐标系xoy中，斜边OB在y轴的正半轴上，过点B作BA∥OC交x轴于点A，点C的纵坐标为8，tan∠BOC=0.5．
（1）求B点坐标；
（2）点P在线段OB上，OP与OB的长分别是关于x的方程x²-（m+10）x+2m²=0的两个实数根，求线段OP的长；
（3）在x轴上是否存在点D，使以点A、B、P、D为顶点的四边形为梯形？若存在，请直接写出直线PD的解析式；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）要求B点坐标需要知道OB的长，在直角三角形BOC中，过C作CH⊥OB，则CH=8，有tan∠BOC=0.5，所以可求出OC的值，进而求出OB的长，问题得解；
（2）把B点的坐标代入方程x²-（m+10）x+2m²=0，可求出m的值，再解方程进而求出线段OP的长，问题得解；
（3）由图形可知  D点的坐标为（-10，0）．设过直线PD的解析式为y=kx+b，解得k，b的值即可．所以存在x轴上点D，使以点A、B、P、D为顶点的四边形为梯形．

解答：解：（1）过C作CH⊥OB，
∵点C的纵坐标为8，
∴OH=8．
∵tan∠BOC=0.5，
∴

CH

OH

=

1

2

．
∴CH=4．
∴CO=

4 2+8 2

=4

5

．
在Rt△BCO中，tan∠BOC=0.5，
∴BC=2

5

．
∴OB=10．
∴B点坐标为（0，10）．

（2）∵OB的长是关于x的方程x²-（m+10）x+2m²=0的一个实数根，
∴10²-（m+10）×10+2m²=0．
解得：m₁=0（舍），m₂=5，
当m=5时，方程变为x²-15x+50=0．
解得：x₁=5，x₂=10．
∴线段OP的长为5．

（3）答：存在x轴上点D，使以点A、B、P、D为顶点的四边形为梯形．

直线PD的解析式为：y=

1

2

x+5或y=2x+5．

点评：本题考查了一次函数与几何图形（直角三角形）的问题：从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．