Question

【题目】如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB=30°，如图②，小明的作图方法如下：

第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；

第二步：连接OA，OB；

第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1，P2；

所以图中P1，P2即为所求的点．

（1）在图②中，连接P1A，P1B，证明∠AP1B=30°；

（2）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC=45°，（不写做法，保留作图痕迹）．

（3）已知矩形ABCD，若BC=2．AB=m，P为AD边上的点，若满足∠BPC=45°的点P恰有两个，则m的取值范围为______________．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）2≤m＜

【解析】

（1）由等边三角形得：∠AOB=60°，则根据圆周角定理可得：∠AP1B=30°；

（2）作等腰直角三角形BEC，BFC，再作△EBC的外接圆，可得圆心角∠BOC=90°，则BC所对的圆周角都是45°；

（3）先确定⊙O，根据同弧所对的圆周角相等，可得AD在四边形GEFH内部时符合条件，再进行求解即可；

答案：（1）∵OA=OB=AB，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠AOB=60°，

由图②得：∠AP1B= ∠AOB=30°；

（2）如图③，①以B、C为圆心，以BC为半径作圆，交AB、DC于E、F，

②作BC的中垂线，连接EC，交于O，

③以O为圆心，OE为半径作圆，

则 上所有的点（不包括E、F两点）即为所求；

（3）如图：作⊙O

∵BE=BC=2

∴CE=

∴⊙O的半径为v2，即OE=0G=，

∵OG⊥EF

∴EH=1，

∴Oн=1，

∴GH= -1，

∴BE≤AB<MB，

∴2≤m<2+-1，即2<m<+1，

故答案为：2≤m＜