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    （2013•南沙区一模）如图1，已知抛物线y=
    1
    2
    x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=2OA=4．
    （1）求该抛物线的函数表达式；
    （2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，以P为圆心，R为半径作⊙P，求当⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切时点P的坐标．
    （3）动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒
    		2
    个单位长度的速度向终点C运动，过点E作EG∥y轴，交AC于点G（如图2）．若E、F两点同时出发，运动时间为t．则当t为何值时，△EFG的面积是△ABC的面积的
    1
    3
    ？
    分析：（1）根据OA、OB的长度求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
    （2）根据抛物线解析式求出对称轴为x=1，并根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后根据点P到直线x=1与x轴的距离相等列出方程，再解绝对值方程即可得解；
    （3）根据抛物线解析式求出点C的坐标，然后求出△ABC的面积，并利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AC的解析式，判断出△BOC是等腰直角三角形，然后用t表示出点E的坐标，从而求出EG的长度，过F作FM⊥x轴于点M，用t表示出BM的长度，然后用t表示出EM的长度，即△EFG边EG上的高，再根据三角形的面积公式列式求解即可．
    解答：解：（1）∵OB=2OA=4，
    ∴OA=2，
    ∴点A（-2，0），B（4，0），
    把点A、B的坐标代入抛物线y=
    1
    2
    x2+bx+c得，
    1
    2
    ×4-2b+c=0
    1
    2
    ×16+4b+c=0
    ，
    解得
    b=-1
    c=-4
    ，
    ∴抛物线的函数表达式为y=
    1
    2
    x2-x-4；

    （2）抛物线对称轴为x=-
    b
    2a
    =-
    -1
    2×
    1
    2
    =1，
    设点P坐标为（x，
    1
    2
    x2-x-4），
    ∵⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切，
    ∴|x-1|=|
    1
    2
    x2-x-4|，
    即x-1=
    1
    2
    x2-x-4①或x-1=-（
    1
    2
    x2-x-4）②，
    解方程①，整理得，x2-4x-6=0，
    解得x1=2+
    		10
    ，x2=2-
    		10
    ，
    当x1=2+
    		10
    时，y1=2+
    		10
    -1=1+
    		10
    ，
    当x2=2-
    		10
    时，y2=2-
    		10
    -1=1-
    		10
    ，
    此时点P的坐标为（2+
    		10
    ，1+
    		10
    ）或（2-
    		10
    ，1-
    		10
    ），
    解方程②，整理得，x2-10=0，
    解得x3=
    		10
    ，x4=-
    		10
    ，
    当x3=
    		10
    时，y3=1-
    		10
    ，
    当x4=-
    		10
    时，y4=1+
    		10
    ，
    此时，点P的坐标为（
    		10
    ，1-
    		10
    ）或（-
    		10
    ，1+
    		10
    ），
    综上所述，点P的坐标为（2+
    		10
    ，1+
    		10
    ）或（2-
    		10
    ，1-
    		10
    ）或（
    		10
    ，1-
    		10
    ）或（-
    		10
    ，1+
    		10
    ）；

    （3）抛物线解析式当x=0时，y=-4，
    所以，点C的坐标为（0，-4），
    又∵AB=OA+OB=2+4=6，
    ∴S△ABC=
    1
    2
    ×6×4=12，
    设直线AC的解析式为y=kx+b，则
    -2k+b=0
    b=-4
    ，
    解得
    k=-2
    b=-4
    ，
    所以，直线AC的解析式为y=-2x-4，
    ∵点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，
    ∴AE=t，点E的坐标为（-2+t，0），
    ∴EG=-2（-2+t）-4=-2t，
    ∵B（4，0），C（0，-4），
    ∴△BOC是等腰直角三角形，
    如图，过点F作FM⊥x轴于点M，
    ∵点F从点B出发，以每秒
    		2
    个单位长度的速度向终点C运动，
    ∴BF=
    		2
    t，
    ∴BM=
    		2
    2
    ×
    		2
    t=t，
    ∴ME=AB-AE-BM=6-t-t=6-2t，
    即点F到EG的距离为（6-2t），
    ∴S△EFG=
    1
    2
    ×|-2t|×（6-2t）=-2t2+6t，
    又△EFG的面积是△ABC的面积的
    1
    3
    ，
    ∴-2t2+6t=
    1
    3
    ×12，
    整理得，t2-3t+2=0，
    解得t1=1，t2=2，
    ∴当t为1秒或2秒时，△EFG的面积是△ABC的面积的
    1
    3
    ．
    点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求函数解析式（二次函数解析式与一次函数解析式），直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，解一元二次方程，以及三角形的面积，本题思路比较复杂，运算量较大，要注意分情况讨论求解，计算时要认真仔细．
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    （2013，1）
    （2013，1）
    ．

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