Question

5．已知，反比例函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象上有两点A和D，且△OBA是等边三角形，四边形BCDE是正方形，则D点坐标（1+$\sqrt{\sqrt{3}+1}$，-1+$\sqrt{\sqrt{3}+1}$）．

Answer 1

分析 作AH⊥x轴于H，如图，设OH=t，利用等边三角形的性质得OH=BH，∠AOH=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系可表示A（t，$\sqrt{3}$t），再根据反比例函数图象上点的坐标特征把A（t，$\sqrt{3}$t）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$可求出t=1，则B（2，0），设正方形BCDE的边长为m，则D（2+m，m），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征把D（2+m，m）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$得（2+m）•m=$\sqrt{3}$，再解关于m的方程即可得到D点坐标．

解答 解：作AH⊥x轴于H，如图，设OH=t，
∵△ABC为等边三角形，
∴OH=BH，∠AOH=60°，
在Rt△AOH中，∵OAH=30°，
∴AH=$\sqrt{3}$OH=$\sqrt{3}$t，
∴A（t，$\sqrt{3}$t），
把A（t，$\sqrt{3}$t）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$得t•$\sqrt{3}$t=$\sqrt{3}$，解得t₁=-1（舍去），t₂=1，
∴OB=2t=2，
∴B（2，0），
设正方形BCDE的边长为m，则D（2+m，m），
把D（2+m，m）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$得（2+m）•m=$\sqrt{3}$，解得m₁=-1-$\sqrt{\sqrt{3}+1}$（舍去），m₂=-1+$\sqrt{\sqrt{3}+1}$，
∴D点坐标为（1+$\sqrt{\sqrt{3}+1}$，-1+$\sqrt{\sqrt{3}+1}$）．
故答案为（1+$\sqrt{\sqrt{3}+1}$，-1+$\sqrt{\sqrt{3}+1}$）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=xk（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等边三角形和正方形的性质．