Question

如图，△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且∠BAD=∠BGD=∠C，联结AG．
（1）求证：BD•BC=BG•BE；
（2）求证：∠BGA=∠BAC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由已知一对角相等，以及一对公共角相等得到三角形BDG与三角形BEC相似，由相似得比例即可得证；
（2）由已知一对角相等，以及一对公共角相等得到三角形BDA与三角形ABC相似，由相似得比例，结合第一问的结论，得到三角形GAB与三角形ABE相似，利用相似三角形对应角相等即可得证．

解答：证明：（1）∵∠DBG=∠EBC，∠BGD=∠C，
∴△BDG∽△BEC，
∴

BD

BE

=

BG

BC

，
则BD•BC=BG•BE；

（2）∵∠DBA=∠ABC，∠BAD=∠C，
∴△DBA∽△ABC，
∴

BD

AB

=

AB

BC

，即AB²=BD•BC，
∵BD•BC=BG•BE，
∴AB²=BG•BE，即

BG

AB

=

AB

BE

，
∵∠GBA=∠ABE，
∴△GBA∽△ABE，
∴∠BGA=∠BAC．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．