Question

如图，在平面直角坐标系中，已知A点坐标（4，0），B点坐标（0，8），点M是线段OA上一动点（不与点O、点A重合），点N是线段OB上一动点，且运动时始终保持ON=2AM，连接MN，并作△OMN的角平分线OD交线段MN于点D．
（1）当△ODN≌△ODA时，线段MN上有哪几个整数点（横坐标，纵坐标都是整数的点）？
（2）当OD=DM时，求△OMN中的整数点的个数（包括三角形边上的点），并说明理由；
（3）点D可能是整数点吗？若存在，则请求出OM的长度；若不存在，则说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）当△ODN≌△ODA时，ON=OA=4，即可求得M、N的坐标，利用待定系数法即可求得线段MN的解析式，则整数点即可求解；
（2）当OD=DM时，△ONM是等腰直角三角形，即可求得M、N的坐标，利用待定系数法即可求得线段MN的解析式，则整数点即可求解；
（3）设AM=a，则ON=2a，OM=4-a，则N的坐标是（0，2a），M的坐标是（4-a，0），即可求得线段MN的解析式，D是整数点可能是（1，1）或（2，2）或（3，3），分别代入解析式求a的值，判断a是否存在即可．

解答：解：（1）当△ODN≌△ODA时，ON=OA=4，则AM=

1

2

ON=2，则OM=OA-AM=4-2=2，
则M的坐标是（2，0），N的坐标是（0，4），
设直线MN的解析式是：y=kx+b，
根据题意得：

2k+b=0 b=4

，
解得：

k=-2 b=4

，
则线段MN的解析式是：y=-2x+4（0≤x≤2），
则MN上的整数点是（0，4）和（1，2）和（2，0）；

（2）当OD=DM时，
∵OD是∠NOM的平分线，
∴∠DOM=45°，
∵OD=DM，
∴∠NMO=45°，
∴△ONM是等腰直角三角形，
∴ON=OM=OA-AM，
即2AM=4-AM，
解得：AM=

4

3

，
∴ON=OM=

8

3

，
则线段MN的解析式是：y=-x+

8

3

，（0≤x≤

8

3

），
则△OMN中的整数点有：（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）；

（3）设AM=a，则ON=2a，OM=4-a，则N的坐标是（0，2a），M的坐标是（4-a，0），
设直线MN的解析式是：y=kx+b，
根据题意得：

b=2a (4-a)k+b=0

，
解得：

b=2a k= 2a a-4

，
则直线MN的解析式是：y=

2ax

a-4

+2a，
∵OD是第一象限角平分线，
∴D是整数点可能是（1，1）或（2，2）或（3，3）．
当D的坐标是（1，1）时，代入MN的解析式，得：

2a

a-4

+2a=1，解得：a=

7+ 17

4

或

7- 17

4

；
当D的坐标是（2，2）时，代入MN的解析式得：

4a

a-4

+2a=2，方程无解；
当D的坐标是（3，3）时，代入MN的解析式得：

6a

a-4

+2a=3，方程无解．
总之，点D可能是整数点是（1，1），OM=4-a=4-

7+ 17

4

=

9- 17

4

，或OM=4-

7- 17

4

=

9+ 17

4

．

点评：本题是一次函数与全等三角形的性质，和角平分线的性质的综合应用，在（3）中，把判断D的整数点的问题转化为判断a的值是否存在的问题是关键．