如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x-2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．分析 （1）先求出直线y=-3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入y=a（x-2）2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF与Rt△BQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3-m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3-m）2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标；
（3）当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P（2，-1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，则四边形AMCN为正方形，在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长．
解答 解：（1）∵直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，3）．
又∵抛物线y=a（x-2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+k=0}\\{4a+k=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
故a，k的值分别为1，-1；
（2）如图1，
设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．
在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，
在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3-m）2，
∵AQ=BQ，
∴1+m2=4+（3-m）2，
∴m=2，
∴Q点的坐标为（2，2）；
（3）如图2，
当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线．
∵对称轴x=2是AC的中垂线，
∴M点与顶点P（2，-1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）．
此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，
∴四边形AMCN为正方形．
在Rt△AFN中，AN=$\sqrt{A{F}^{2}+N{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即正方形的边长为$\sqrt{2}$．
点评 此题是二次函数的综合题，主要考查了二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，难度适中．，解本题的关键是用勾股定理求出点Q的坐标．
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如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2-$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）的图象与x轴交于A（-2，0）、C两点，与y轴交于点B（0，-4），其对称轴与x轴交于点D．查看答案和解析>>
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如图1，已知抛物线y=-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{1}{3}$x+4与x轴交于A、B两点（B点在A点右边），与y轴交于C点，P为线段OB上一动点，过P作x轴垂线交抛物线于D点，交直线AC于E点，过D点作DF⊥AE，垂足为F，设P点的横坐标为m．查看答案和解析>>
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