如图.抛物线与x轴的交点A.B的横坐标分别为-1.-4.与y轴的交点C的纵坐标为3．(1)求抛物线的解析式,(2)如图①在抛物线的对称轴上是否存在点P.使得四边形PAOC的周长最小?若存在.求出四边形PAOC周长的最小值,若不存在请说明理由,(3)如图②.点Q是线段OB上一动点.连接BC.在线段BC上是否存在这样的点M.使△CQM为等腰三角形.且△BQM为直角三角形?若存在.求点M的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．如图，抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，-4，与y轴的交点C的纵坐标为3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在请说明理由；
（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形，且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由．

分析（1）根据A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）A、B两点关于对称轴对称，连接BC交对称轴于点P，则P点即为所求，在Rt△BOC中可求得BC的长，进一步可求得四边形PAOC周长的最小值；
（3）分∠MQB=90°和∠QMB=90°两种情况，设出M点坐标，再根据△CQM为等腰三角形，结合三角形相似可得到关于M点坐标的方程，可求得M点坐标．

解答解：
（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
由题意可知A（-1，0），B（-4，0），C（0，3），
代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a-4b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{15}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3；
（2）∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，

∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，
∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，
∵A（-1，0），B（-4，0），C（0，3），
∴OA=1，OC=3，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∴OC+AB+BC=1+3+5=9，
∴在抛物线的对称轴上存在点P，使四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；
（3）设直线BC解析式为y=kx+n，
把B、C两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3，
①当∠BQM=90°时，如图2，设M（a，b），

∵∠CMQ＞90°，
∴只能CM=MQ=b，
∵MQ∥y轴，
∴△MQB∽△COB，
∴$\frac{BM}{BC}$=$\frac{MQ}{OC}$，即$\frac{5-b}{5}$=$\frac{b}{3}$，
解得b=$\frac{15}{8}$，代入y=$\frac{3}{4}$x+3可得$\frac{15}{8}$=$\frac{3}{4}$a+3，
解得a=-$\frac{3}{2}$，
∴M点坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{8}$）；
②当∠QMB=90°时，如图3，

∵∠CMQ=90°，
∴只能CM=MQ，
设CM=MQ=m，则BM=5-m，
∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，
∴△BMQ∽△BOC，
∴$\frac{5-m}{4}$=$\frac{m}{3}$，解得m=$\frac{15}{7}$，
作MN∥OB，则有$\frac{MN}{OB}$=$\frac{CN}{OC}$=$\frac{CM}{BC}$，
即$\frac{MN}{4}$=$\frac{CN}{3}$=$\frac{\frac{15}{7}}{5}$，
∴MN=$\frac{12}{7}$，CN=$\frac{9}{7}$，
∴ON=OC-CN=3-$\frac{9}{7}$=$\frac{12}{7}$，
∴M点坐标为（-$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$），
综上可知在线段BC上是存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的坐标为
（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{8}$）或（-$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$）．

点评本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、轴对称的性质和应用、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质及分类讨论思想．在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中注意分两种情况来进行讨论，利用等腰三角形的性质得到方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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