Question

14．如图，△OAB中，∠ABO=90°，点A位于第一象限，点O为坐标原点，点B在x轴正半轴上，若双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）与△OAB的边AO、AB分别交于点C、D，点C为AO的中点，连接OD、CD．若S_△OBD=3，则S_△OCD为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 根据反比例函数关系式与面积的关系得S_△COE=S_△BOD=3，由C是OA的中点得S_△ACD=S_△COD，由CE∥AB，可知△COE∽△AOB，由面积比是相似比的平方得$\frac{{S}_{△COE}}{{S}_{△AOB}}$=$\frac{1}{4}$，求出△ABC的面积，从而求出△AOD的面积，得出结论．

解答 解：过C作CE⊥OB于E，
∵点C、D在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴S_△COE=S_△BOD，
∵S_△OBD=3，
∴S_△COE=3，
∵CE∥AB，
∴△COE∽△AOB，
∴$\frac{{S}_{△COE}}{{S}_{△AOB}}$=$\frac{{OC}^{2}}{O{A}^{2}}$，
∵C是OA的中点，
∴OA=2OC，
∴$\frac{{S}_{△COE}}{{S}_{△AOB}}$=$\frac{1}{4}$，
∴S_△AOB=4×3=12，
∴S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD=12-3=9，
∵C是OA的中点，
∴S_△ACD=S_△COD，
∴S_△COD=$\frac{9}{2}$，
故选C．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，所成的三角形的面积是定值$\frac{1}{2}$|k|，且保持不变．