Question

分别以△ABC的边AC、BC为边，向△ABC外作正方形ACD₁E₁和正方形BCD₂E₂，连接D₁D₂．
（1）如图1，过点C作MH⊥AB于点H，交D₁D₂于点G．若CM=AB，连接MD₁，MD₂，试证明四边形D₁CD₂M是平行四边形．
（2）如图2，CF为AB边中线，试探究CF与线段D₁D₂的数量关系，并加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定,正方形的性质

专题：

分析：（1）过点D₁作D₁N⊥CM于N，根据同角的余角相等求出∠BAC=∠MCD₁，根据正方形的四条边都相等可得AC=CD₁，然后利用“角角边”证明△ACH和△CD₁N全等，根据全等三角形对应边相等可得AH=CN，CH=D₁N，然后求出BH=MN，再利用“边角边”证明△BCH和△MD₁N全等，根据全等三角形对应边相等可得D₁M=BC，∠D₁MN=∠CBH，根据正方形的性质可得BC=CD₂，再求出∠CBH=∠MCD₂，从而得到∠D₁MN=∠MCD₂，根据内错角相等，两直线平行可得D₁M∥CD₂，然后根一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）延长CF至G，使FG=CF，然后利用“边角边”证明△ACF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=BG，全等三角形对应边相等可得∠G=∠ACF，再根据内错角相等，两直线平行可得AC∥BG，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CBG+∠ACB=180°，根据周角等于360°求出∠D₁CD₂+∠ACB=180°，从而得到∠D₁CD₂=∠CBG，然后利用“边角边”证明△CBG和△D₂CD₁全等，根据全等三角形对应边相等可得D₁D₂=CG，从而得到D₁D₂=2CF．

解答：（1）证明：如图，过点D₁作D₁N⊥CM于N，
∵MH⊥AB，
∴∠BAC+∠ACH=90°，
∵∠ACD₁=90°，
∴∠MCD₁+∠ACH=90°，
∴∠BAC=∠MCD₁，
∵四边形ACD₁E₁是正方形，
∴AC=CD₁，
在△ACH和△CD₁N中，

∠BAC=∠MCD1 ∠AHC=∠CND1=90° AC=CD1

，
∴△ACH≌△CD₁N（AAS），
∴AH=CN，CH=D₁N，
∵CM=AB，
∴BH=MN，
在△BCH和△MD₁N中，

CH=D1N ∠MND1=∠CHB=90° BH=MN

，
∴△BCH≌△MD₁N（SAS），
∴D₁M=BC，∠D₁MN=∠CBH，
∵四边形BCD₂E₂是正方形，
∴BC=CD₂，∠BCD₂=90°，
∴D₁M=CD₂，∠CBH=∠MCD₂，
∴∠D₁MN=∠MCD₂，
∴D₁M∥CD₂，
∴四边形D₁CD₂M是平行四边形；

（2）D₁D₂=2CF．
证明如下：如图，延长CF至G，使FG=CF，
∵CF是AB边的中线，
∴AF=BF，
在△ACF和△BGF中，

AF=BF ∠AFC=∠BFG CF=FG

，
∴△ACF≌△BGF（SAS），
∴AC=BG，∠G=∠ACF，
∴AC∥BG，
∴∠CBG+∠ACB=180°，
∵∠D₁CD₂+∠ACB=360°-2×90°=180°，
∴∠D₁CD₂=∠CBG，
在△CBG和△D₂CD₁中，

CD1=BG ∠D1CD2=∠CBG BC=CD2

，
∴△CBG≌△D₂CD₁（SAS），
∴D₁D₂=CG，
∴D₁D₂=2CF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，正方形的性质，熟记各性质是解题的关键，（1）难点在于作辅助线构造出全等三角形并二次证明三角形全等，（2）“遇中线，加倍延”作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．