Question

【题目】某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产，已知生产每件产品的成本为40元．在销售过程中发现，年销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）．

（1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（2）试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？

（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元．请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？

Answer 1

【答案】(1) y=－x+30; (2) z=－x2+34x－3200; (3) 14万件和12万件;(4)见解析.

【解析】

（1）销售单价为x元，用x表示出年销售量和每件产品销售利润；

（2）利用每件产品销售利润×年销售量=年获利列出函数解答；

（3）由题意易得Z与x之间的函数关系，当x=160时则可推出x2-340x+28800=0，解得x的值．再分别把x的两个值代入y与x的函数关系式即可；

（4）利用配方法求得第一年按获利最大的销售单价，求得第二年的年获利函数，画出图象，利用图象解答即可．

（1）依题意知，当销售单价定为x元时，年销售量减少（x-100）万件．

∴y=20-（x-100）=-x+30．

即y与x之间的函数关系式是：y=-x+30．

（2）由题意，得：z=（30-x）（x-40）-500-1500=-x2+34x-3200．

即z与x之间的函数关系式是：z=-x2+34x-3200．

（3）当x=160时，z=×1602+34×1603200=320，

令320=x2+34x3200，

整理，得x2-340x+28800=0，

由根与系数的关系得x=180，即同样的年获利，销售单价还可以定为180元，

（4）∵z=x2+34x3200= (x170)2310

∴当x=170时，z取最大值，最大值为-310

故第一年的销售单价定为170元/件，

∴当z=1130时，即1130=x2+34x1510，

整理得x2-340x+26400=0，

解得：x1=120，x2=220．

函数z=-x2+34x-1510的图象大致如图所示：

由图象可以看出：当120≤x≤220时，z≥1130．

故第二年销售量单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围．