Question

【题目】如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE．

（1）求证：AC2=AEAB；

（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；

（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）PB=PE；（3）．

【解析】

试题分析：（1）证明△AEC∽△ACB，列比例式可得结论；

（2）如图2，证明∠PEB=∠COB=∠PBN，根据等角对等边可得：PB=PE；

（3）如图3，先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP的长，与半径的差就是PQ的最小值．

试题解析：（1）如图1，连接BC，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴∠A=∠ABC，∵EC=AE，∴∠A=∠ACE，∴∠ABC=∠ACE，∵∠A=∠A，∴△AEC∽△ACB，∴，∴AC2=AEAB；

（2）PB=PE，理由是：

如图2，连接OB，∵PB为⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP=90°，∴∠PBN+∠OBN=90°，∵∠OBN+∠COB=90°，∴∠PBN=∠COB，∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，∠COB=2∠A，∴∠PEB=∠COB，∴∠PEB=∠PBN，∴PB=PE；

（3）如图3，∵N为OC的中点，∴ON=OC=OB，Rt△OBN中，∠OBN=30°，∴∠COB=60°，∵OC=OB，∴△OCB为等边三角形，∵Q为⊙O任意一点，连接PQ、OQ，因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，∠A=∠COB=30°，∴∠PEB=2∠A=60°，∠ABP=90°﹣30°=60°，∴△PBE是等边三角形，Rt△OBN中，BN==，∴AB=2BN=，设AE=x，则CE=x，EN=﹣x，Rt△CNE中，，x=，∴BE=PB==，Rt△OPB中，OP= = =，∴PQ=﹣4=．则线段PQ的最小值是．