Question

如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．
（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．
（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．
（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题,分类讨论

分析：（1）由于抛物线与x轴的两个交点已知，因此抛物线的解析式可设成交点式，然后把点B的坐标代入，即可求出抛物线的解析式．
（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大；求出另一个三角形面积的表达式，利用二次函数的性质确定其最值；本问需分类讨论：
①当0＜x＜4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示；
②当4＜x＜5时，点M在抛物线AB段上时，图略．
（3）△PQB为等腰三角形时，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解：
①若点B为顶点，即BP=BQ，如答图2-1所示；
②若点P为顶点，即PQ=PB，如答图2-2所示；
③若点Q为顶点，即QP=QB，如答图2-3所示．

解答：解：（1）∵该抛物线经过点A（5，0），O（0，0），
∴该抛物线的解析式可设为y=a（x-0）（x-5）=ax（x-5）．
∵点B（4，4）在该抛物线上，
∴a×4×（4-5）=4．
∴a=-1．
∴该抛物线的解析式为y=-x（x-5）=-x²+5x．

（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大．
①当0＜x＜4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示．

∵B（4，4），∴易知直线OB的解析式为：y=x．
设M（x，-x²+5x），
过点M作ME∥y轴，交OB于点E，则E（x，x），
∴ME=（-x²+5x）-x=-x²+4x．
S_△OBM=S_△MEO+S_△MEB=

1

2

ME（x_E-0）+

1

2

ME（x_B-x_E）=

1

2

ME•x_B=

1

2

ME×4=2ME，
∴S_△OBM=-2x²+8x=-2（x-2）²+8
∴当x=2时，S_△OBM最大值为8，即四边形的面积最大．
②当4＜x＜5时，点M在抛物线AB段上时，图略．
可求得直线AB解析式为：y=-4x+20．
设M（x，-x²+5x），
过点M作ME∥y轴，交AB于点E，则E（x，-4x+20），
∴ME=（-x²+5x）-（-4x+20）=-x²+9x-20．
S_△ABM=S_△MEB+S_△MEA=

1

2

ME（x_E-x_B）+

1

2

ME（x_A-x_E）=

1

2

ME•（x_A-x_B）=

1

2

ME×1=

1

2

ME，
∴S_△ABM=-

1

2

x²+

9

2

x-10=-

1

2

（x-

9

2

）²+

1

8

∴当x=

9

2

时，S_△ABM最大值为

1

8

，即四边形的面积最大．
比较①②可知，当x=2时，四边形面积最大．
当x=2时，y=-x²+5x=6，
∴M（2，6）．

（3）由题意可知，点P在线段OB上方的抛物线上．
设P（m，-m²+5m），则Q（m，m）
当△PQB为等腰三角形时，
①若点B为顶点，即BP=BQ，如答图2-1所示．
过点B作BE⊥PQ于点E，则点E为线段PQ中点，
∴E（m，

-m2+6m

2

）．
∵BE∥x轴，B（4，4），
∴

-m2+6m

2

=4，
解得：m=2或m=4（与点B重合，舍去）
∴m=2；

②若点P为顶点，即PQ=PB，如答图2-2所示．
易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，则△PQB为等腰直角三角形．
∴PB∥x轴，
∴-m²+5m=4，
解得：m=1或m=4（与点B重合，舍去）
∴m=1；
③若点Q为顶点，即QP=QB，如答图2-3所示．
∵P（m，-m²+5m），Q（m，m），
∴PQ=-m²+4m．
又∵QB=

2

（x_B-x_Q）=

2

（4-m），
∴-m²+4m=

2

（4-m），
解得：m=

2

或m=4（与点B重合，舍去），
∴m=

2

．
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，m的值为1，2或

2

．

点评：本题是二次函数压轴题，涉及考点较多，有一定的难度．重点考查了分类讨论的数学思想，第（2）（3）问均需要进行分类讨论，避免漏解．注意第（2）问中求面积表达式的方法，以及第（3）问中利用方程思想求m值的方法．