Question

如图，Rt△ACB和Rt△BAD中，∠ACB=∠BDA=90°，∠ABC=∠BAD，边AD与BC相交于点E．
（1）在图1中，求证：AC=BD；
（2）当Rt△ACB沿BC方向平移到图2所示位置时，边A₁C₁与AB边交于点F．过点F作FG⊥AD于点G．此时请你通过观察、测量和猜想．写出FG+FC₁与BD之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当Rt△ACB沿BC方向平移到图3所示的位置（点C₁在线段BE上，且点C₁与点B不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）

Answer 1

（1）证明：在Rt△ACB和Rt△BDA中，
，
∴△ACB≌△BDA（AAS），
∴AC=BD；

（2）FG+FC₁=BD；理由为：
证明：过点F作FH⊥BD于点H（如图2），
∵FG⊥AD于点G，∠D=90°，
∴四边形FGDH为矩形，
∴FG=HD，DG∥FH，
∴∠DAB=∠HFB，
∵∠DAB=∠CBA，
∴∠CBA=∠HFB，
在△C₁FB≌△HBF中，

∴△C₁FB≌△HBF（AAS），
∴C₁F=HB，
∴GF+C₁F=DH+HB=BD，即FG+FC₁=BD；

（3）仍然成立．关系式为FG+FC₁=BD，理由为：
证明：过点F作FH⊥BD于点H（如图3），
∵FG⊥AD于点G，∠D=90°，
∴四边形FGDH为矩形，
∴FG=HD，DG∥FH
∴∠DAB=∠HFB，
∵∠DAB=∠CBA，
∴∠CBA=∠HFB，
在△C₁FB≌△HBF中，

∴△C₁FB≌△HBF（AAS），
∴C₁F=HB，
∴GF+C₁F=DH+HB=BD，即FG+FC₁=BD．
分析：（1）由已知的两对角相等，加上公共边AB=BA，利用AAS得出三角形ABC与三角形ABD全等，由全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）FG+FC₁=BD；理由为：过F作FH垂直于BD，由三个角为直角的四边形为矩形得到GFHD为矩形，可得FG=DH，DG与FH平行，由平行得到一对同位角相等，再由平移的性质及已知的两角相等得到一对角相等，再由一对直角相等及FB为公共边，利用AAS可得出三角形C₁FB与三角形HBF全等，由全等三角形的对应边相等得到C₁F=HB，等量代换即可得证；
（3）当Rt△ACB沿BC方向平移到图3所示的位置（点C₁在线段BE上，且点C₁与点B不重合）时，（2）中的猜想仍然成立，证明方法同理．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，平移的性质，以及矩形的判额定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．