Question

已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC．（AB＞AE）
（1）△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）当∠AEF=30°时，△AEF与△BCF相似吗？为什么？

Answer 1

考点：相似三角形的判定,矩形的性质

专题：

分析：（1）要求两三角形相似，已知条件有一组直角，我们只需再证得一组对应角相等即可得出两三角形相似，根据FE⊥EC，因此∠AEF和∠DCE都是∠DEC的余角，因此∠AEF=∠DCE，我们只要再得出∠DCE=∠FCE即可，可通过构建全等三角形来求解，延长FE交CD于G，我们不难得出△AEF和△GED全等，那么EF=EG，再根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可得出∠FCE=∠GCE也就得出了∠AEF=∠ECF，于是就凑齐了两三角形相似的条件．
（2）相似．利用“两角法”证得两个三角形相似．

解答：解：（1）△AEF∽△ECF．证明如下：
延长FE与CD的延长线交于G，
∵E为AD的中点，AE=DE，∠AEF=∠GED，
∴在△AEF与△DEG中，

∠A=∠EDG AE=DE ∠AEF=∠DEG

∴△AEF≌△DEG（ASA）．
∴EF=EG，∠AFE=∠DGF
∴∠EGC=∠EFC，
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．
又∵∠A=∠FEC=90°，
∴Rt△AEF∽Rt△ECF；

（2）相似．理由如下：
由（1）知，∠AFE=∠EGC=∠EFC．
则易求∠AEF=∠FCE=∠GCE=60°，
∴∠FCB=90°-30°-30°=30°=∠AEF．
∴在△AEF与△BCF中，∠AEF=∠FCB，∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BCF．

点评：本题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定和性质，根据相似三角形得出相关线段间的比例关系是解题的关键．