Question

如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？

Answer 1

分析：（1）过点C作CD垂直于AB，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出圆C与AB相切时，CD为此时圆C的半径，在直角三角形ABC中，由AB及AC的长，利用勾股定理求出BC的长，由直角三角形的面积可以由斜边AB与高CD乘积的一半来，也可以由两直角边乘积的一半来求，可得出CD的长，即为AB与圆C相切时的半径；
（2）用半径和CD的长比较后即可得到结论．

解答：解：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，如图所示：

Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm，
根据勾股定理得：BC=4

3

cm，
∵S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

AC•BC，
∴CD=

AC•BC

AB

=2

3

cm，
则以点C为圆心，当半径为2

3

cm时，AB与⊙C相切；
（2）∵2＜2

3

＜4
∴以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别相离和相交；

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：勾股定理，三角形的面积求法，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．