Question

12．如图，在△ABC中，AC＞AB，以点A为圆心、AB长为半径的弧恰交BC于点D，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足为E．
（1）若AB=10，DE=2，求△ABD的面积；
（2）求证：AC²-AD²=BC•CD．

Answer 1

分析 （1）由已知条件可得AB=10、AE=8，在RT△ABE中根据勾股定理可求得BE；
（2）过点A作AF⊥BD于点F，根据勾股定理知，在RT△ACF中AC²=AF²+CF²，在RT△ADF中AD²=AF²+DF²，两式相减整理可得．

解答 解：（1）∵AB=AD，AB=10，DE=2，
∴AE=AD-DE=8，
∵BE⊥AD，
∴在RT△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
则△ABD的面积为$\frac{1}{2}$AD×BE=$\frac{1}{2}$×10×6=30；

（2）如图，过点A作AF⊥BD于点F，

∵AB=AD，
∴BF=DF，
∵在RT△ACF中，AC²=AF²+CF²，
在RT△ADF中，AD²=AF²+DF²，
∴AC²-AD²=CF²-DF²
=（CF+DF）（CF-DF）
=（CF+BF）（CF-DF）
=BC•CD，
即AC²-AD²=BC•CD．

点评 本题主要考查勾股定理的运用和等腰三角形的性质，掌握勾股定理是根本，构建直角三角形将待求证的线段放到直角三角形中是解题的关键．