Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，以AB为直径作半圆O切CD于E，连接OE，并延长交AD的延长线于F．
（1）问∠BOE能否为120°，并简要说明理由；
（2）证明△AOF∽△EDF，且

DF

OF

=

DE

OA

=

1

2

；
（3）求DF的长．

Answer 1

分析：（1）用反证法证明，先设∠BOE=120°，推得与已知BC=1矛盾，则∠BOE≠120°；
（2）连接OD，则Rt△ADO∽Rt△EDO，由相似比推出

DF

OF

=

DE

OA

=

1

2

；
（3）根据勾股定理求得DF的长．

解答：解：（1）∠BOE≠120°．
连接OC，若∠BOE=120°，则OC=1，
于是BC＜1，这与已知BC=1矛盾；

（2）Rt△AOF∽Rt△EDF，
连接OD，则Rt△ADO∽Rt△EDO，∠DOC=90°，
又OE⊥DC，
∴OE²=DE•EC，
∵CE=BC=1，OE=

1

2

，
∴DE=

1

4

，
∴

DF

OF

=

DE

OE

=

1

2

；

（3）在Rt△AOF中，OF²=AO²+AF²，
由AO=

1

2

，AD=DE=

1

4

，DF=

1

2

OF，
得（2DF）²=（

1

2

）²+（

1

4

+DF）²，
解得DF=

5

12

．

点评：本题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质，是一道综合题，难度较大．