Question

如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是边AB上的两点，且AE=BF，DE与CF相交于梯形ABDC内一点O．
（1）求证：OE=OF；
（2）如图②，当EF=CD时，请你连接DF、CE，判断四边形DCEF是什么样的四边形，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）由等腰梯形的性质得AD=BC，∠A=∠B，因为AE=BF，根据SAS判定△ACE≌△BDF，从而得到∠CEA=∠DFB，即OE=OF；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形DCEF是平行四边形，又知CE=DF，所以得到四边形DCEF是矩形．
解答：（1）证明：∵梯形ABCD为等腰梯形，AB∥CD
∴AD=BC，∠A=∠B，
在△ADE与△BCF中，
∵
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴∠DEA=∠CFB，
∴OE=OF；

（2）解：?CDEF为矩形．
证明：∵DC∥EF且DC=EF
∴四边形CDEF是平行四边形
又由（1）得△ADE≌△BCF
∴DE=CF
∴?CDEF为矩形．
点评：此题主要考查学生对等腰梯形的性质，全等三角形的判定及矩形的判定的理解及运用．