【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,A(m+1,0)、B(0,m)(m>0),以AB为直径画圆⊙P,点C为⊙P上一动点,
(1)判断坐标原点O是否在⊙P上,并说明理由;
(2)若点C在第一象限,过点C作CD⊥y轴,垂足为D,连接BC、AC,且∠BCD=∠BAC,
①求证:CD与⊙P相切;
②当m=3时,求线段BC的长;
(3)若点C是的中点,试问随着m的变化点C的坐标是否发生变化,若不变,求出点C的坐标;若变化,请说明理由.
【答案】(1)在,理由见解析;(2)①证明见解析,②BC= ;(3)不变,C
【解析】试题分析:(1)点P在⊙P上.连接OP.证明OP=PA,则可得到结论;
(2)①连接PC.证明∠BCD+∠PCB=90°即可得到结论;
②延长CP交OA于M.当m=3时,得到OB=3,OA=4, AB=5.再证明四边形DOMC是矩形,得到CM=DO,由三角形中位线定理得到PM=1.5,从而得到CM=4,进而得到BD=1. 再由sin∠BCD=sin∠BAC,可得到BC的长.
(3)过点C作CM⊥x轴于点M,CN⊥y轴于点N,可证明△BNC≌△AMC,设CM=a,则有ON=OM=a,故m+a=m+1-a,解出a的值即可.
试题解析:解:(1)点P在⊙P上.理由如下;
连接OP.∵BA为⊙P的直径,∴BP=PA,∵∠AOB=90°,∴OP=AB=PA,∴点O在⊙P上;
(2)①连接PC.∵PC=PA,∴∠PCA=∠PAC,∵∠BCD=∠BAC,∴∠BCD=∠PCA.∵AB为直径,∴∠BCA=90°,∴∠BCP+∠ACP=90°,∴∠BCD+∠PCB=90°,∴CD与⊙P相切;
②延长CP交OA于M.当m=3时,OB=3,OA=4,∴AB=5.∵∠PCD=∠CDO=∠DOA=90°,∴四边形DOMC是矩形,∴CM=DO,PM⊥OA,∴OM=MA,∵AP=BP,∴PM=BO=1.5,∵PC=2.5,∴CM=1.5+2.5=4,∴OD=4,∴BD=4-3=1. ∵∠BCD=∠BAC,∴sin∠BCD=sin∠BAC,∴,∴,∴ ,∴BC=.
(3)过点C作CM⊥x轴于点M,CN⊥y轴于点N,∵弧CB=弧AC,∴BC=AC,在△BNC和△AMC中,∵∠CBN=∠MAC,∠AMC=∠BNC,BC=AC,∴△BNC≌△AMC,∴BN=AM ,CM=CN,设CM=a,∵四边形ONCM为正方形,∴ON=OM=a,∴m+a=m+1-a,解得a=,所以C(, ).∴C的坐标不变,为C(, ).
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【题目】抛物线经过A,B,C三点.
(1)求抛物线的解析式。
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
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【题目】从A、B两班分别任抽10名学生进行英语口语测试,其测试成绩的方差是SA2=13.2,SB2=26.36,则( )
A.A班10名学生的成绩比B班10名学生的成绩整齐
B.B班10名学生的成绩比A班10名学生的成绩整齐
C.A、B两班10名学生的成绩一样整齐
D.不能比较A、B两班学生成绩的整齐程度
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=8cm,BC=16cm,点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,同时点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动,有一点到终点运动即停止,设运动时间为t秒.
(1)t为何值时,△PBQ的面积为12cm2;
(2)若PQ⊥DQ,求t的值.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
X | ﹣1 | 0 | 1 | 3 |
y | ﹣1 | 3 | 5 | 3 |
下列结论:
⑴ac<0;
⑵当x>1时,y的值随x值的增大而减小.
⑶3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;
⑷当﹣1<x<3时,ax2+(b﹣1)x+c>0.
其中正确的个数为()
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】我市开展“美丽自宫,创卫同行”活动,某校倡议学生利用双休日在“花海”参加义务劳动,为了解同学们劳动情况,学校随机调查了部分同学的劳动时间,并用得到的数据绘制了不完整的统计图,根据图中信息回答下列问题:
(1)将条形统计图补充完整;
(2)扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是多少度?
(3)求抽查的学生劳动时间的众数、中位数.
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