Question

6．如图所示，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证：EG²=$\frac{1}{2}$GF×AF；
（3）若tan∠FEC=$\frac{3}{4}$，折痕AF=5$\sqrt{5}$cm，则矩形ABCD的周长为36cm．

Answer 1

分析 （1）先依据翻折的性质和平行线的性质，证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；
（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=$\frac{1}{2}$GF，再证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF²=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；
（3）依据tan∠FEC=$\frac{3}{4}$，可设CF=3x，CE=4x，进而得到EF=5x，CD=8x=AB，再依据相似三角形对应边成比例，即可得到AE=10x=AD，最后在Rt△ADF中，利用勾股定理列方程求解即可得到矩形ABCD的周长．

解答 解：（1）∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形．

（2）如图，连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG=OF=$\frac{1}{2}$GF．
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{FO}{DF}$，即DF²=FO•AF．
∵FO=$\frac{1}{2}$GF，DF=EG，
∴EG²=$\frac{1}{2}$GF•AF．

（3）∵Rt△CEF中，tan∠FEC=$\frac{3}{4}$，
∴可设CF=3x，CE=4x，则EF=5x=DF，CD=8x=AB，
∵∠B=∠C=90°，∠AEF=∠ADF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{CF}{CE}$=$\frac{3}{4}$，即$\frac{BE}{8x}$=$\frac{3}{4}$，
∴BE=6x，
∴BC=10x=AD，
∵Rt△ADF中，AF=5$\sqrt{5}$cm，
∴（10x）²+（5x）²=（5$\sqrt{5}$）²，
解得x=1，
∴AD=10cm，CD=8cm，
∴矩形ABCD的周长=2（10+8）=36cm．
故答案为：36cm．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是依据直角三角形的勾股定理列方程求解．