Question

18．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点P为边AB上的点，连接CP，若CP=2$\sqrt{5}$，则点A到直线CP的距离是$\frac{6\sqrt{5}}{5}$或$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 根据题意可以画出相应的图形，由已知条件可以求得斜边上的高，与CP比较，可知本题分两种情况，然后分类解答即可．

解答 解：如下图所示：

作CD⊥AB于点D
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=6\sqrt{2}$，AC×BC=AB×BD．
得BD=3$\sqrt{2}$．
∵$3\sqrt{2}＜2\sqrt{5}$，
∴分两种情况：
第一种情况：CP₁=$2\sqrt{5}$，CD=$3\sqrt{2}$．
则$D{P}_{1}=\sqrt{C{{P}_{1}}^{2}-C{D}^{2}}=\sqrt{2}$．
∵AB=BC=6，CD⊥AB，AB=$6\sqrt{2}$，
∴AD=3$\sqrt{2}$．
∴$A{P}_{1}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$．
∴设点A到直线CP₁的距离为a，a×CP₁=AP₁×CD．
解得a=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
第二种情况：CP₂=$2\sqrt{5}$，CD=$3\sqrt{2}$．
则$D{P}_{2}=\sqrt{C{{P}_{2}}^{2}-C{D}^{2}}=\sqrt{2}$．
∵AB=BC=6，CD⊥AB，AB=$6\sqrt{2}$，
∴AD=3$\sqrt{2}$．
∴$A{P}_{2}=3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$．
∴设点A到直线CP₂的距离为b，b×CP₂=AP₂×CD．
解得b=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{6\sqrt{5}}{5}或\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查解直角三角形，解题的关键是画出相应的图形，利用数学中分类讨论的数学思想进行解答．